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variable aleatoire discrete poisson

Variable aléatoire discrète prenant un nombre in ?ni de valeurs Notations mathématiques utilisées a À tout entier naturel k on associe un réel noté k ? n ? k est par dé ?nition la limite de ? k lorsque n tend vers ? k k b Application à une variable aléatoire discrète prenant un nombre in ?ni de valeurs On suppose que l ? on a une suite in ?nie de réels ? k ? et que X est une variable aléatoire ne prenant ses valeurs que parmi les nombres réel de cette suite On dit que X est une variable aléatoire discrète prenant un nombre in ?ni de valeurs dont la loi de probabilité est donnée par la fonction f dé ?nie en tout point de ? k ? par f k Pr X k pour tout k de ? ? On a ici ? f k k ? ? L ? espérance E X de X est dé ?nie par E X k f k k Si E X est dé ?ni comme un réel la variance de X notée V X est dé ?nie par ? ? ? ? V X k ?? E X f k soit encore par V X k f k ?? E X k k Dans ce cas V X peut être égal à ? ou un réel positif la variance de X notée ?X est dé ?nie par ?X V X Loi de Poisson Soit ? un réel strictement positif et X une variable aléatoire On dit que X suit la loi de Poisson de paramètre ? notée P ? si X ne prend ses valeurs que dans ? avec Pr X k e ?? ? ?k k pour tout k de ? Espérance variance et écart type X étant une variable aléatoire suivant la loi de Poisson P ? on peut véri ?er que E X ? V X ? et ?X ? Loi binomiale et loi de Poisson On considère une variable aléatoire X suivant la loi binomiale n p q ??p Pour n grand et p petit on peut remplacer la loi binomiale de probabilité n p par la loi de Poisson P ? o? ? np p ? On admet comme conditions de légitimité de l ? approximation et n p q ? et ? n On fait ce remplacement lorsqu ? on veut utiliser directement les tables numériques de la loi de Poisson pour faire des calculs de probabilité CLoi de Poisson Pr X k e ?? ? ?k k E X ? V X ? Extrait de formulaire k ? k ? C Exemples de sujets concernant la loi de Poisson ? Une fabrication en série présente en moyenne de produits défectueux On prélève au hasard un lot de produits Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de produits défectueux dans ce lot Déterminer la loi suivie par X et les paramètres de cette loi Calculer directement Pr X en donnant le résultat à