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Cours cao bezier CAO courbes et surface de Bézier CLes Courbes de Bézier L'interpolation n'est pas adaptée à la CAO conception assistee par ordinateur C'est dans ce domaine que les courbes de Bézier ont été inventées et plus précisement pour l'industrie a

CAO courbes et surface de Bézier CLes Courbes de Bézier L'interpolation n'est pas adaptée à la CAO conception assistee par ordinateur C'est dans ce domaine que les courbes de Bézier ont été inventées et plus précisement pour l'industrie automobile dans les années L'idée révolutionnaire des courbes de Bézier est l'utilisation de points de contrôle et non de points d'interpolation Cela veut dire que la courbe ne passe pas par les points donnés mais les approche Les courbes de Bezier ne sont donc pas des interpolations mais des approximations CAvantages Il y a plusieurs avantages à cela ? La courbe est stable il est facile de déformer la courbe sans résultats inattendus ? Il est facile de modi ?er la courbe ? Le placement des points de contrôle est relativement évident ? Il est plus facile d'avoir une courbe naturelle uide qu'avec des points d'interpolation CLa conception de Bézier Les courbes de Bézier ont entre autres été créées par Pierre Bézier chez Renault en Bien que ce type de courbes porte son nom il n'est pas certain que Bézier ait été le premier à construire cette courbe En e ?et Paul De Casteljau chez Citro? n a développé la même courbe à la même époque bien que son approche di ?ère de celle de Bézier CL'algorithme de De Casteljau ? L'algorithme de De Casteljau est entièrement géométrique Prenons en exemple la construction d ? une courbe de Bézier avec quatre points de contrôle Posons Prenons un paramètre t entre et On dé ?ni le point comme le barycentre de et de a ?ectés des poids t et -t De la même manière pour Puis on itère C C C CP ? our trouver le barycentre entre deux points et nous utilisons la formule suivante ? -t ? -t Ainsi le barycentre se deplace entre les points et sur la droite les reliant C CLe schema dispose d'autant de niveaux qu'il y a de points de contrôle Comme pour changer de niveau nous multiplions par t ou -t notre courbe à points de contrôle est de degré Le degré d'une courbe de Bézier est inférieur d'une unite au nombre de points de contrôle Remarque la courbe de Bezier de degre n avec n points est unique CI ? l est possible de trouver l'expression d'une courbe de Bézier Pour une courbe à points de contrôle Le plus simple est de prendre le schéma précédent dans le sens itératif ? Pour le deuxième niveau C ? Pour le troisième niveau ? Pour le quatrième et dernier niveau C ? En assemblant ces équations nous pouvons obtenir en fonction des points de contrôle Nous avons alors l'expression suivante de la courbe de Bézier Cette démarche est généralisable à un nombre de point quelconque CPolynôme de Bernstein Bien que l'algorithme de De Casteljau soit très simple il est relativement long de trouver l'expression de la courbe lorsqu'il y a beaucoup de points de contrôle La forme de Bernstein permet d'exprimer plus simplement une courbe de