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Corr controle 1 ts spe Terminale S Spécialité Maths CORRIGÉ DU CONTRÔLE N Exercice Déterminons le nombre de multiples de compris entre ?? et Tout multiple de est de la forme k o? k est un entier relatif Ceux qui sont compris entre ?? et sont tels que ?? ?

Terminale S Spécialité Maths CORRIGÉ DU CONTRÔLE N Exercice Déterminons le nombre de multiples de compris entre ?? et Tout multiple de est de la forme k o? k est un entier relatif Ceux qui sont compris entre ?? et sont tels que ?? ? k ? Or ?? ? k ? ?? ?? ? k ? ?? ?? ? k ? car k est un entier Il y a valeurs possibles pour k négatives une nulle et positives Donc il y a multiples de compris entre ?? et Déterminons l ? ensemble S des entiers relatifs n tels que n ? divise L ? ensemble des diviseurs de est D ? ?? ?? ?? ?? ?? ? S est donc l ? ensemble des entiers relatifs n tels que n appartienne à D Or n ? ? D ?? n ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? n ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? L ? ensemble des entiers relatifs n tels que n ? divise est donc S ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? Déterminons l ? ensemble des couples d ? entiers naturels x y tels que x ?? y ? x ?? y ? ?? x ?? y x ? y ? x et y étant deux entiers naturels on a x ? y ? Si le couple x y est solution de l ? équation précédente alors x ?? y et x ? y sont deux diviseurs positifs associés de Or les diviseurs positifs de sont et ? x ?? y ? ? x ?? y ? On a x ?? y ? x ? y puisque y ? On a donc deux possibilités ?? ? x ? y ? ou ?? ? x ? y ? Par addition on obtient ? x ? ?? ? x ? y ? ou ? x ? ?? ? x ? y ? ce qui équivaut à ? x ? ?? ? y ? ou ? x ? ?? ? y ? Réciproquement on véri ?e que et sont bien solutions de l ? équation x ?? y ? On conclut les couples d ? entiers naturels x y solutions de l ? équation x ?? y ? sont et Remarque si on avait demandé de déterminer les couples d ? entiers relatifs solutions de cette équation il aurait su ? de remarquer que si le couple x y est solution alors les couples x ?? y ?? x y et ?? x ?? y le sont aussi Cela permet de limiter la recherche aux seuls couples d ? entiers naturels puis à donner ensuite toutes les solutions ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? Exercice Le nombre est obtenu en juxtaposant trois fois le nombre ? donc est divisible par ? donc est divisible par ? donc est divisible par ? donc est divisible par Démontrons que cette propriété est vraie quel que soit le nombre à deux chi ?res