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Integrale Aperçu de l ? intégrale APERÇU DE L ? INTÉGRALE Estimation de l ? aire d ? une région curviligne Erreur d ? approximation Aire exacte d ? une région curviligne Intégrale dé ?nie Intégrale dé ?nie négative Propriétés de l ? intégrale dé ?nie Théo

Aperçu de l ? intégrale APERÇU DE L ? INTÉGRALE Estimation de l ? aire d ? une région curviligne Erreur d ? approximation Aire exacte d ? une région curviligne Intégrale dé ?nie Intégrale dé ?nie négative Propriétés de l ? intégrale dé ?nie Théorème fondamental du calcul Recherche de primitives et intégrale indé ?nie Intégration par changement de variable Calcul d ? aires planes par intégration a A b c FIGURE La formule de Héron soit s ? a ? b ? c le demi-périmètre d ? un triangle L ? aire A du triangle est donnée par A ? s s ? a s ? b s ? c Deux problèmes fondamentaux sont au c ?ur du calcul di ?érentiel et intégral D ? abord le problème des tangentes étudié précédemment qui consiste à décrire les droites tangentes à une courbe cette question est à la base du calcul di ?érentiel Ensuite le problème de la quadrature abordé maintenant qui consiste à déterminer l ? aire enfermée par une courbe cette question est à la base du calcul intégral Newton et Leibniz ainsi que les frères Bernoulli ont chacun le mérite d ? avoir été les premiers à reconna? tre clairement la connexion étroite entre ces deux problèmes Estimation de l ? aire d ? une région curviligne Dès l ? Antiquité les géomètres s ? intéressèrent au calcul de l ? aire des ?gures planes Ils savaient comment calculer l ? aire de n ? importe quelle surface polygonale plane en la découpant par triangulation et en faisant la somme des aires de chacun des triangles ainsi obtenus En pratique ils utilisaient la formule de Héron pour trouver l ? aire de chaque triangle calculée à partir de la mesure de ses trois côtés ?gure Mais comment déterminer l ? aire de surfaces délimitées par des courbes Exemple Estimer l ? aire de la région sous une hyperbole Trouvez une approximation de l ? aire A de la région comprise entre l ? axe des x et l ? hyperbole f x ? x entre les bornes x ? et x ? y f x ? x A A A A a a a a x FIGURE L ? estimation de l ? aire A sous l ? hyperbole f x ? x à l ? aide de quatre rectangles d ? aires a a a et a et de quatre rectangles circonscrits d ? aires A A A et A Solution L ? idée consiste à estimer l ? aire A en remplaçant l ? hyperbole par une courbe en escalier qui lui soit voisine l ? aire de chaque rectangle obtenu est facile à calculer et la somme Sn des aires de ces n rectangles sera à peu près égale à A plus la base des rectangles sera petite plus leur nombre augmentera et plus la somme Sn sera proche de l ? aire A de la région sous la courbe Subdivisons cette région